Question

13．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=11，BC=10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是①②③．
①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；
②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；
③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；
④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．

Answer 1

分析 首先连接OD，OE，易得四边形ODBE是正方形，即可得点O在∠B的平分线上，OE是BC的垂直平分线，OD不是AB的垂直平分线，O不在AC的垂直平分线上，点O不在AC上．

解答 解：∵⊙O的半径为5且与AB、BC相切，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD=OE=5，
∵∠B=90°，
∴四边形ODBE是正方形，
∴BE=BD=OE=OD=5，
∴点O在∠B的平分线上，CE=BC-BE=5，AD=AB-BD=11-5=6，
∴OE是BC的垂直平分线，OD不是AB的垂直平分线，
∵OA=$\sqrt{A{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{61}$，OC=$\sqrt{O{E}^{2}+C{E}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴OA≠OC，
即O不在AC的垂直平分线上；
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{221}$，
∴点O不在AC上．
∴①②③错误，④正确．
故答案为：①②③．

点评 此题考查了切线的性质、角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质．注意证得四边形ODBE是正方形是关键．