Question

18．如图，在平行四边形ABCD中，∠D=90°，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x²-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．
（1）求AB与BC的长；
（2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-7x+12=0，即可求出AB与BC的长；
（2）存在点P，使△CDP是等腰三角形，利用已知条件易证四边形ABCD是矩形，利用勾股定理可求出AC的长，再分别讨论P在不同位置下时△CDP为等腰三角形，求出t的值即可．

解答 解：（1）∵x²-7x+12=（x-3）（x-4）=0，
∴x=3或4，
∵边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x²-7x+12=0的两个根，
∴AB=3，BC=4；
（2）存在点P，使△CDP是等腰三角形，
理由如下：
∵在平行四边形ABCD中，∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
当P₁D=P₁C即P为对角线AC中点时，△CDP是等腰三角形，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴CP₁=$\frac{1}{2}$AC=2.5，
∴t=$\frac{3+4+2.5}{1}$=9.5（秒）；
当P₂D=P₂C时，△CDP是等腰三角形，
∴t=$\frac{3+4+3}{1}$=10（秒），
AB的中点也是，此时t=1；
CP=CD，P在BC线段上，此时，t=4；
DP=DC，P在斜边AC上，此时t=10.6；
综上可知当t=9.5秒或10秒或1秒或4秒或10.6秒时△CDP是等腰三角形

点评 本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质性质以及勾股定理的运用，解题的关键是利用分类讨论的思想解答题目，做到不重不漏．