Question

3．如图，点A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P，且FG=FB=3．则以下四个结论：①BF=EF；②PA⊥OA；③tan∠P=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$；④OC=3$\sqrt{2}$，上述结论中正确的有①②④（填番号）．

Answer 1

分析 ①正确，根据AD∥EB得$\frac{AG}{EF}=\frac{CG}{CF}=\frac{GD}{BF}$即可证明．②正确，只要证明∠FAB+∠OAB=90°即可．③错误，求出AH，FH，根据tan∠P=tan∠AFH=$\frac{AH}{FH}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，即可解决问题．④正确，在RT△ADO中利用勾股定理即可求出半径．

解答 解：如图连接AO、AB、BG作FH⊥AD于H，
∵EB是切线，AD⊥BC
∴∠EBC=∠ADC=90°，
∴AD∥EB，
∴$\frac{AG}{EF}=\frac{CG}{CF}=\frac{GD}{BF}$，
∵AG=GD，
∴EF=FB故①正确，
∵BC是直径，
∴∠BAC=∠BAE=90°，∵EF=FB，
∴FA=FB=FE=FG=3，
∴∠FAB=∠FBA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠FBA+∠ABO=90°，
∴∠FAB+∠OAB=90°，
∴PA是⊙O的切线，故②正确．
∵FA=FG，FH⊥AG，
∴AH=HG，
∵∠FBD=∠BDH=∠FHD=90°，
∴四边形FBDH是矩形，
∴FB=DH=3，
∵AG=GD，
∴AH=HG=1，GD=2，FH=$\sqrt{A{F}^{2}-A{H}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵FH∥PD，
∴∠AFH=∠APD，
∴tan∠P=tan∠AFH=$\frac{AH}{FH}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，故③错误，
设半径为r，在RT△ADO中，∵AO²=AD²+OD²，
∴r²=4²+（r-2$\sqrt{2}$）²，
∴r=3$\sqrt{2}$故④正确，
故答案为①②④．

点评 本题考查圆的有关知识、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，体现了转化的思想，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．