Question

11．探究：如图①，△ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P．
（1）求证：△ACN≌△CBM；
（2）∠CPN=120°．
应用：将图①的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图②、③，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图②中∠CPN=90°；图③中∠CPN=72°．
拓展：若将图①的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠CPN=$\frac{360}{n}$°（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析 探究：（1）利用等边三角形的性质得到BC=AC，∠ACB=∠ABC，从而得到△ACN≌△CBM．
（2）利用全等三角形的性质得到∠CAN=∠BCM，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，即可求解．
应用：利用正方形（或正五边形）的性质得到BC=DC，∠ABC=∠BCD，从而判断出△DCN≌△CBM，再利用全等三角形的性质得到∠CDN=∠BCM，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和（或者三角形的内角和），即可．
拓展：利用正n五边形的性质得到BC=DC，∠ABC=∠BCD，从而判断出△DCN≌△CBM，再利用全等三角形的性质得到∠CDN=∠BCM，再利用三角形的内角和，即可．

解答 探究：（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=∠ABC=60°．                            
∴∠ACN=∠CBM=60°．
在△ACN和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠CBM}\\{∠ACB=∠ABC}\\{BM=CN}\end{array}\right.$
∴△ACN≌△CBM．                                          
（2）解：∵△DCN≌△CBM，
∴∠CAN=∠BCM，
∵∠ABC=∠BMC+∠BCM，∠BAN=∠BAC+∠CAN，
∴∠CPN=∠BMC+∠BAN=∠BMC+∠BAC+∠CAN=∠BMC+∠BAC+∠BCM=∠ABC+∠BAC=60°+60°=120°，
故答案为120．
应用：将等边三角形换成正方形，
  解：四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠ABC=∠BCD=90°．                            
∴∠MBC=∠DCN=120°．                                     
 在△DCN和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠BCD}\\{∠MBC=∠DCN}\\{BM=CN}\end{array}\right.$
∴△DCN≌△CBM．
∴∠CDN=∠BCM，
∵∠BCM=∠PCN
∴∠CDN=∠PCN
在Rt△DCN中，∠CDN+∠CND=90°，
∴∠PCN+∠CND=90°，
∴∠CPN=90，
将等边三角形换成正五边形，
 五边形ABCDE是正五边形，
∴BC=DC=108°．                            
∴∠MBC=∠DCN=72°．
 在△DCN和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠BCD}\\{∠MBC=∠DCN}\\{BM=CN}\end{array}\right.$
∴△DCN≌△CBM．
∴∠BMC=∠CND，∠BCM=∠CDN，
∵∠ABC=∠BMC+∠BCM=108°
∴∠CPN=180°-（∠CND+∠PCN）=180°-（∠CND+∠BCM）=180°-（∠BCM+∠BMC）=180°-108°=72°．
故答案为90，72．
拓展  
解：方法和上面正五边形的方法一样，得到∠CPN=180°-（∠CND+∠PCN）=180°-（∠CND+∠BCM）=180°-（∠BCM+∠BMC）=180°-108°=72°
故答案为$\frac{360}{n}$．

点评 本题是四边形的综合题，也是一道规律题，主要考查了正n边形的性质，涉及知识点比较多，如等边三角形、正方形、正五边形的性质，如由四边形ABCD是正方形，得到BC=DC，∠ABC=∠BCD=90°，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角相等，解题的关键是充分利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和（或者三角形的内角和）．