【题目】.如图 1,B、D 分别是 x 轴和 y 轴的正半轴上的点,AD∥x 轴,AB∥y 轴(AD>AB),点 P 从 C 点出发,以 3cm/s 的速度沿 CDAB 匀速运动,运动到 B 点时终止;点 Q 从 B 点出发,以 2cm/s 的速度,沿 BCD 匀速运动,运动到 D 点时终止.P、Q 两点同时出发, 设运动的时间为 t(s),△PCQ 的面积为 S(cm2),S 与 t 之间的函数关系由图 2 中的曲线段 OE,线段 EF、FG 表示.
(1)求 AD 点的坐标;
(2)求图2中线段FG的函数关系式;
(3)是否存在这样的时间 t,使得△PCQ 为等腰三角形?若存在,直接写出 t 的值;若不存在, 请说明理由.
【答案】(1) D(0,3), A(6,3);(2) ;(3),,
【解析】
(1)由图象可知CD=3×1=3,设AD=BC=a,根据点Q到达点C时,点P到达点A,列出方程即可求出a.
(2)当点Q在CD上,点P在AB上时,对应的函数图象是线段FG,由此即可解决问题.
(3)分三种情形讨论:①Q在BC上,P在CD上时,列出方程即可;
②Q在BC上,P在AD上时,由CP=CQ得6﹣2t,整理得5t2+6t﹣18=0解方程即可;
由PQ=CQ得6﹣2t,整理得7t2﹣22t+18=0,△<0,无解.当PC=PQ得6﹣2t=2(3t﹣3),解得t;
③Q在CD上,P在AB上时,由CP=PQ列出方程即可.
(1)设AD=BC=a,由图象可知CD=AB=3,点Q到达点C时,点P到达点A,否则P、Q继续运动时,S与t的函数图象不是直线,∴,∴a=6,∴点A坐标(6,3),点D坐标(0,3).
(2)当点Q在CD上,点P在AB上时,对应的函数图象是线段FG,∴SCQ6=3CQ=3(2t﹣6)=6t﹣18.
(3)分三种情况讨论:
①Q在BC上,P在CD上时,由CP=CQ得6﹣2t=3t,解得:t(不合题意舍弃,1);
②Q在BC上,P在AD上时,由CP=CQ得:6﹣2t,整理得5t2+6t﹣18=0,t或(舍弃).
由PQ=CQ,如图1.
作PK⊥OB于K,则DP=OK=3t﹣3,KQ=6﹣2t﹣(3t﹣3)=9﹣5t,∴PQ,∴6﹣2t,整理得7t2﹣22t+18=0,△<0,无解.
当PC=PQ.如图2.
作PK⊥OB于K,则OK=KQ=DP,∴OQ=2DP,∴6﹣2t=2(3t﹣3),解得t;
③Q在CD上,P在AB上时,由CP=PQ,如图3.
作PK⊥OD于K,则KQ=OK=PB,∴2PB=OQ,∴2(12﹣3t)=2t﹣6,解得:t.
综上所述ts或s或s时,△PCQ为等腰三角形.
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【题目】如图,在一条河的北岸有两个目标M、N,现在位于它的对岸设定两个观测点A、B.已知AB∥MN,在A点测得∠MAB=60°,在B点测得∠MBA=45°,AB=600米.
(1)求点M到AB的距离;(结果保留根号)
(2)在B点又测得∠NBA=53°,求MN的长.(结果精确到1米)
(参考数据:≈1.732,sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.33,cot53°≈0.75)
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【题目】如图1,在ABCD中,DH⊥AB于点H,CD的垂直平分线交CD于点E,交AB于点F,AB=6,DH=4,BF:FA=1:5.
(1)如图2,作FG⊥AD于点G,交DH于点M,将△DGM沿DC方向平移,得到△CG′M′,连接M′B.
①求四边形BHMM′的面积;
②直线EF上有一动点N,求△DNM周长的最小值.
(2)如图3,延长CB交EF于点Q,过点Q作QK∥AB,过CD边上的动点P作PK∥EF,并与QK交于点K,将△PKQ沿直线PQ翻折,使点K的对应点K′恰好落在直线AB上,求线段CP的长.
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【题目】已知,如图,菱形ABCD中,E、F分别是CD、CB上的点,且CE=CF;
(1)求证:△ABE≌△ADF.
(2)若菱形ABCD中,AB=4,∠C=120°,∠EAF=60°,求菱形ABCD的面积.
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【题目】如图,在等腰直角△ABC中,∠C=90°,D为BC的中点,将△ABC折叠,使点A与点D重合,EF为折痕,则cos∠BED的值是( )
A. B. C. D.
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【题目】某市教育局为了了解初二学生第一学期参加社会实践活动的天数,随机抽查本市部分初二学生第一学期参加社会实践活动的天数,并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图(如图)
请你根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)a= ;
(2)补全条形统计图;
(3)求实践天数为5天对应扇形的圆心角度数;
(4)如果该市有初二学生20000人,请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人?
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【题目】已知直线y=kx(k≠0)经过点(12,﹣5),将直线向上平移m(m>0)个单位,若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交(点O为坐标原点),则m的取值范围为_____.
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【题目】如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与(x>0,0<m<n)的图象上,对角线BD//y轴,且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.
(1)当m=4,n=20时.
①若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数表达式.
②若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.
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【题目】为加快城乡对接,建设美丽乡村,某地区对A、B两地间的公路进行改建.如图,A、B两地之间有一座山.汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=100千米,∠A=45°,∠B=30°.
(1)开通隧道前,汽车从A地到B地要走多少千米?
(2)开通隧道后,汽车从A地到B地可以少走多少千米?(结果保留根号)
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