Question

2．某商品专营店购进一批进价为16元/件的商品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若每件按20元的价格销售时，每月能卖360件；若每件每涨1元，每天少卖10件；设销售价格为x（元/件）时，每天销售y（件），日总利润为W元．物价局规定：此类商品的售价不得低于进价，又不得高于进价的3倍销售，即16≤x≤48．
（利润=售价-进价，或总利润=单间利润×总销售件数）
（1）售价25元/件时，日销量310件，日总利润为2790元；
（2）求y与x之间的关系式；
（3）求W与x之间的关系式，问销售价格为多少时，才能使每日获得最大利润？日最大利润是多少？
（4）商店为减少库存，在保证日利润3000元的前题条件下，商店该以多少元/件销售．

Answer 1

分析 （1）根据每件按20元的价格销售时，每月能卖360件；若每件每涨1元，每天少卖10件，即可求出日销量以及总利润；
（2）利用日销量=360-超过20的钱数×10，进而得出答案；
（3）利用W=y（x-16）进而得出y与x之间的关系，进而求出最值；
（4）利用在保证日利润3000元的前题条件下，则W=3000，进而解方程求出答案．

解答 解：（1）售价25元/件时，日销量为：360-（25-20）×10=310（件），
日总润为：310×（25-16）=2790（元）．
故答案为：310，2790；

（2）由题意可得：y=360-10（x-20）=-10x+560；

（3）由题意可得：
W=y（x-16）
=（x-16）（-10x+560）
=-10x²+720x-8960
=-10（x-36）²+4000，
∴x=36时，W_最大=4000（x=36在16≤x≤48的范围内）
∴售价为36元/件时，日获利最大，最大利润为4000元；

（4）由（3）知 W=-10（x-36）²+4000
∴3000=-10（x-36）²+4000，
解得：x₁=26，x₂=46（x₁，x₂均在16≤x≤48范围内），
∵y=-10x+560，
∵-10＜0，由一次函数性质可知，x越小，销量y越大，库存越小，
即售价为26元/件时，库存小，同时每天能获利3000元．

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出W与x之间的关系是解题关键．