Question

如图，抛物线y=ax²+bx（a＞0）与双曲线相交于点A，B．已知点B的坐标为（-2，-2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
（1）请直接写出双曲线和直线AB的解析式，求出抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上能否找到点D，使△BCD周长最短，请求出点D的坐标和直接写出此时△BCD周长；
（2）在直线AB的下方的抛物线上找一点P，使△ABP的面积最大．并求出点P的坐标和△ABP的最大面积．

Answer 1

解：（1）双曲线解析式为y=，直线解析式为y=2x+2；
设A点坐标为（m，n），tan∠AOx==4，又知n=2m+2，
解得m1，n=4，A点坐标为（1，4），
由题意得：y=ax²+bx过A（1，4），B（-2，-2）得：
，
解得a=1，b=3，
即抛物线的解析式为y=x²+3x；

（2）由题意得：点C关于抛物线对称轴的对称点为A，所以点D为直线AB与抛物线对称轴x=-的交点．
所以，即，D点的坐标为（-，-1），
△BCD的周长=|BC|+|AB|=3+2，
即△BCD的周长为3+2；

（3）法（一）设过P点的直线与直线AB平行，且抛物线只有一个交点时，△ABP的面积最大．
∵直线AB为y=2x+2，∴设过P点的直线为y=2x+b，
∴，
即2x+b=x²+3x，
△=1+4b=0，
解得b=-，
∴，
∴，
法（二）设点P（a，a²+3a），过点P作PH垂直于x轴交AB于H点，
则∴H（a，2a+2），
∴PH=2-a-a²，
∴S_△ABP=（2-a-a²）•3=-（a+）2+，
∴当a=-，即P（-，-），
则S_△ABPmax=．
分析：（1）根据题干中的数据可以直接求出双曲线和直线AB的解析式，根据抛物线y=ax²+bx过A（1，4），B（-2，2），列出二元一次方程组，求出a和b的值即可；
（2）要使△BCD周长最短，则点D为直线AB与抛物线对称轴x=-的交点，求出D点的坐标，进而求出△BCD的周长；
（3）可以根据两种方法解决此小题，①设过P点的直线与直线AB平行，且抛物线只有一个交点时，△ABP的面积最大，②设点P（a，a2+3a），过点P作PH垂直于x轴交AB于H点，
都要求出P点的坐标，再求△ABP的最大面积．
点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握对称的知识，解答第三问的时候不止一种方法求出P点的坐标，此题难度一般．