Question

定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3求BN的长；

（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC>DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点

（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）

（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN>AM≥BN，△AMC，△MND

和△NBM均是等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究，和的数量关系，并说明理由21教育网

Answer 1

（1）解:当为最大线段时，

∵点，是线段的勾股分割点，

∴.       

当为最大线段时，

∵点，是线段的勾股分割点，

∴.        

综上，或.              

（2）证明：∵是△的中位线，∴.

∴.

∴点，分别是，的中点.  

∴，，.   ∵点，是线段的勾股分割点，且 ＞ ≥，

∴.

∴.

∴.                        

∴点，是线段的勾股分割点.      

（3）用尺规画出图形，如图3所示.             

（4）解：.    

理由：设_，，，

∵是的中点，∴.

∵△，△均为等边三角形，

∴.

∵，

∴△≌△.

∴.∴.

∵，∴△∽△.

∴.

∴.

∵点，是线段的勾股分割点，

∴.

∴，

又∵.∴.             

在△和△中，，，，

∴△≌△.

∴.                   

∵，∴.

∴.

∵，，

∴.