Question

如图，分别以等腰Rt△ABC的边AC、BC为直径画半圆，以边AB为直径画圆．则：
①S_半圆AECA+S_半圆BGCB=S_半圆ALBA；
②S_月形AECF=2S_弓形AFCA；
③S_弓形AFCA+S_弓形CHBC=

1

2

S_△ABC；
④S_月形AECF+S_月形BGCH=S_△ABC．
正确的结论有（　　）

• A、①②③
• B、①④
• C、②③④
• D、①②③④

Answer 1

考点：勾股定理

专题：

分析：根据等腰直角三角形的性质以及圆的面积公式，分别表示出各部分面积进而判断得出即可．

解答：解：∵分别以等腰Rt△ABC的边AC、BC为直径画半圆，以边AB为直径画圆，
∴∠ACB=∠ADC=90°，∠CAB=∠CBA=45°，
设AC=2x，则BC=2x，AB=2

2

x，
①∵S_半圆AECA=

1

2

πx²，S_半圆BGCB=

1

2

πx²，S_半圆ALBA=

1

2

π（

2

x）²=πx²，
∴S_半圆AECA+S_半圆BGCB=S_半圆ALBA，故此选项正确；

②∵S_弓形AFCA=S_扇形ADC-S_△ADC=

1

2

πx²-

1

2

×

2

x×

2

x=

1

2

x²（π-2），
S_月形AECF=

1

2

πx²-

1

2

x²（π-2）=x²，
∴S_月形AECF≠2S_弓形AFCA，故此选项错误；

③∵S_弓形AFCA=S_弓形CHBC=

1

2

x²（π-2），
∴S_弓形AFCA+S_弓形CHBC=（π-2）x²，
S_△ABC=

1

2

×2x×2x=2x²，
∴S_弓形AFCA+S_弓形CHBC≠

1

2

S_△ABC，故此选项错误；

④∵S_月形AECF=S_月形BGCH=x²，
∴S_月形AECF+S_月形BGCH=2x²，S_△ABC=

1

2

×2x×2x=2x²，
∴S_月形AECF+S_月形BGCH=S_△ABC，故此选项正确．
故选：B．

点评：此题主要考查了勾股定理以及圆面积公式和三角形面积求法，根据题意求出特殊图形面积进而得出一般图形面积是解题关键．