Question

10．正方形ABCD的位置在坐标中如图所示，点A、D的坐标反别为（1，0）、（0，2），延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积为（　　）

• A． 5•${（\frac{3}{2}）}^{2013}$
• B． 5•${（\frac{3}{2}）}^{4026}$
• C． 5•${（\frac{3}{2}）}^{4021}$
• D． 5•${（\frac{3}{2}）}^{4030}$

Answer 1

分析 推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA₁，证△DOA∽△ABA₁，再求出AB，BA₁，面积即可求出；求出第2个正方形的边长；再求出第3个正方形边长；依此类推得出第2016个正方形的边长，求出面积即可．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{B{A}_{1}}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=AD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BA₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}$，
∴第2个正方形A₁B₁C₁C的边长A₁C=A₁B+BC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，面积=（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$）²=$\frac{45}{4}$；
同理：第3个正方形的边长是$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$+$\frac{3}{4}$$\sqrt{5}$=$\frac{9}{4}$$\sqrt{5}$=（$\frac{3}{2}$）²$\sqrt{5}$，面积=（$\frac{9}{4}$$\sqrt{5}$）²=$\frac{405}{16}$：
第4个正方形的边长是（$\frac{3}{2}$）³$\sqrt{5}$，面积=[（$\frac{3}{2}$）³$\sqrt{5}$]²；…
第2016个正方形的边长是（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵$\sqrt{5}$，面积=[（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵$\sqrt{5}$]²=5•（$\frac{3}{2}$）⁴⁰³⁰；
故选：D．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，依次求出正方形的边长是解题的关键．