Question

已知一个二次函数的图象经过A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）三点（如图）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求tan∠BAC的值；
（3）若点D在x轴上，点E在（1）中所求出的二次函数的图象上，且以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D、E的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，利用待定系数法列式计算出a、b、c的值，从而得解；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，先求出点M的坐标，然后根据三角形函数的定义列式进行计算即可；
（3）根据抛物线的对称性结合平行四边形的性质可得AE∥x轴，从而得到点E与点B重合，然后根据平行四边形的对边相等求出CD的长度，再分点D在点C的左边与右边两种情况求解，从而得到点D的坐标．
解答：解：（1）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y=x²-4x+3；

（2）如图，过点C作CM⊥AB于点M，
∴点M的坐标为（1，3），
tan∠BAC===3；

（3）∵点D在x轴上，点E在二次函数的图象上，
∴以点A、C、D、E为顶点的平行四边形中AE∥CD，
∴点E与点B重合，
∴点E的坐标为（4，3），
∴AE=4-0=4，
根据平行四边形的对边平行且相等CD=AE=4，
又∵点C的坐标为（1，0），
∴①当点D在点C的左边时，AC是对角线，1-4=-3，
点D的坐标为（-3，0），
②当点D在点C的右边时，AC是平行四边形的边，1+4=5，
点D的坐标为（5，0），
综上所述点D的坐标为（-3，0）或（5，0），点E的坐标为（4，3）．
点评：本题是对二次函数的综合考查，包括待定系数法求二次函数解析式，锐角函数的三角函数，平行四边形的性质，在确定平行四边形的顶点时，判断出点E与点B重合是解题的关键．