Question

2．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB于点F，连接DF．
（1）求证：AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出∠AEF=$\frac{1}{2}$∠AEB=30°，AE=AB，∠EFA=90°，求出∠AEF=∠BAC，∠EFA=∠ACB，根据AAS推出△AEF≌△BAC即可；
（2）根据等边三角形的性质得出AC=AD，∠DAC=60°，求出AD=EF，再求出AD∥EF，根据平行四边形的判定得出即可．

解答 证明：（1）∵△BAE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF=$\frac{1}{2}$∠AEB=30°，AE=AB，∠EFA=90°，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠AEF=∠BAC，∠EFA=∠ACB，
在△AEF和△BAC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFA=∠ACB}\\{∠AEF=∠BAC}\\{AE=AB}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△BAC，
∴AC=EF；


（2）∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠DAC=60°，
由（1）的结论得AC=EF，
∴AD=EF，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAD=∠BAC+∠DAC=90°，
∵∠EFA=90°，
∴AD∥EF，
∵AD=EF，
∴四边形ADFE是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．