Question

7．在?ABCD中，E为BC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长DC，交FE的延长线于点G，连结DF，已知∠FDG=45°
（1）求证：GD=GF．
（2）已知BC=10，DF=8$\sqrt{2}$．求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件和平行四边形的性质可证明∠FDG=∠DFG，进而可得GD=GF；
（2）由勾股定理易求GF的长，再证明△EBF≌△ECG，可得GE=4，在 Rt△CGE 中由勾股定理 CG²=CE²-GE²可得CG的长，进而可求出CD的长．

解答 解：
（1）证明：
∵EF⊥AB，
∴∠GFB=90°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠DGF=∠GFB=90°，
在△DGF中，已知∠FDG=45°，
∴∠DFG=45°，
∴∠FDG=∠DFG，
∴GD=GF；          
（2）解：由（1）得DG²+GF²=DF²，DF=8$\sqrt{2}$，
∴GF²=64，
∴GF=8，
∵点E 是BC中点，
∵BC=10，
∴CE=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠GCE=∠EBF
在△EBF和△ECG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCE=∠EBF}\\{∠ECG=∠EFB=90°}\\{CE=BE}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△ECG，
∴GE=4，
在 Rt△CGE 中 CG²=CE²-GE²=9，
∴CG=3，
∴CD=8-3=5．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．