Question

20．已知，如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，CE平分∠BCA，交AB于G，

（1）如图1，作EF∥AC，交AB于F．求证：BE=AF；
（2）如图2，过G作GM⊥AC，垂足为M，连结ME，判断四边形BGME的形状并证明．

Answer 1

分析 （1）分别过E、F作EH⊥BC，FI⊥AB，垂足分别为H、I，由条件证明△AFI≌△CEH即可；
（2）首先根据角平分线的性质得到GB=GM，∠BGC=∠MGC，然后根据GM⊥AC，BD⊥AC于得到GM∥BD，从而得到∠GEB=∠BGE，进一步得到GM=BE，从而判定四边形四边形BGME是菱形．

解答 证明：（1）分别过E、F作EH⊥BC，FI⊥AC，垂足分别为H、I，如图1，
∵BD⊥AC于D，EF∥AC，
∴四边形DEFI为矩形，
∴FI=ED，
∵CE平分∠ACB，
∴ED=EH，
∴FI=EH，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABD=90°，
且∠A+∠ABD=90°，
∴∠FAI=∠ECH，
在△AFI和△BEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAI=∠EBH}\\{∠AIF=∠EHB=90°}\\{FI=EH}\end{array}\right.$，
∴△AFI≌△BEH（AAS），
∴AF=BE；
（2）∵CE平分∠BCA，∠GMC=∠GBC=90°，如图2，
∴GB=GM，∠BGC=∠MGC，
∵GM⊥AC，BD⊥AC于D，
∴GM∥BD，
∴∠MGE=∠GEB
∴∠GEB=∠BGE，
∴GB=BE，
∴GM=BE，
∴四边形BGME菱形．

点评 本题考查了菱形的判定及角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的性质得到GM=BE，这为判定菱形提供了必要的条件．