如图.在正方形ABCD中.对角线AC与BD交于点O,在Rt△PFE中.∠EPF=90°.点E.F分别在边AD.AB上．(1)如图1.若点P与点O重合．①求证:△AOF≌△DOE,②若正方形的边长为2$\sqrt{3}$.当∠DOE=15°时.求线段EF的长,(2)如图2.若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动.当BD=3BP时.猜想此时PE与PF的数量关系.并给出证明,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PFE中，∠EPF=90°，点E、F分别在边AD、AB上．
（1）如图1，若点P与点O重合．
①求证：△AOF≌△DOE；
②若正方形的边长为2$\sqrt{3}$，当∠DOE=15°时，求线段EF的长；
（2）如图2，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m•BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．

分析（1）①根据正方形的性质和旋转的性质即可证得：△AOF≌△DOE；
②作OG⊥AB于G，根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；
（2）首先过点P作HP⊥BD交AB于点H，根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系，根据解答结果总结规律得到当BD=m•BP时，PE与PF的数量关系．

解答（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45°，∠AOD=90°，
∴∠AOE+∠DOE=90°，
∵∠EPF=90°，
∴∠AOF+∠AOE=90°，
∴∠DOE=∠AOF，
在△AOF和△DOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠DOE}\\{OA=OD}\\{∠OAF=∠ODE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△DOE（ASA）；

②如图1，过点O作OG⊥AB于G，
∵正方形的边长为2$\sqrt{3}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∵∠DOE=15°，△AOF≌△DOE，
∴∠AOF=15°，
∴∠FOG=45°-15°=30°，
∵cos∠FOG=$\frac{OG}{OF}$，
∴OF=$\frac{OG}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
又∵OE=OF，
∴EF=$\sqrt{2}$OF=2$\sqrt{2}$；

（2）PE=2PF，
证明：如图2，过点P作HP⊥BD交AB于点H，
则△HPB为等腰直角三角形，∠HPD=90°，
∴HP=BP，
∵BD=3BP，
∴PD=2BP，
∴PD=2HP，
又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，
∴∠HPF=∠DPE，
又∵∠BHP=∠EDP=45°，
∴△PHF∽△PDE，
∴$\frac{PF}{PE}=\frac{PH}{PD}=\frac{1}{2}$，
即PE=2PF，
由此规律可知，当BD=m•BP时，PE=（m-1）•PF．

点评此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

练习册系列答案

68所名校图书小升初高分夺冠真卷系列答案

伴你成长周周练月月测系列答案

小升初金卷导练系列答案

萌齐小升初强化模拟训练系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

16．近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下：

成绩（分）	60	70	80	90	100
人数	4	8	12	11	5

则该班学生成绩的众数和中位数分别是（　　）

A．

70分，80分

B．

80分，80分

C．

90分，80分

D．

80分，90分

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

17．电视节目“了不起的挑战”播出后深受中小学生的喜爱，小刚想知道我校学生最喜欢哪位明星，于是在我校随机抽取了一部分学生进行抽查（每人只能选一个自己最喜欢的明星），将调查结果进行了整理后绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有200人．并将两幅统计图补充完整．
（2）若小刚所在学校有3500名学生，请根据图中信息，估计全校喜欢“阮经天”的人数．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

14．为鼓励企业，政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某市统计了该市2015年1-5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如图两种不完整的统计图：

（1）某市2015年1-5月份新注册小型企业一共16家，扇形统计图中“2月”所在扇形的圆心角为45度；
（2）请将折线统计图补充完整；
（3）该市2015年3月新注册小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营情况．请以列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

1．一组数据5，2，3，6，8，3的中位数和众数分别是（　　）

A．

4和3

B．

4和8

C．

3和3

D．

5和3

查看答案和解析>>