Question

12．关于x的方程（k-1）x²+2kx+2=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x₁，x₂是方程（k-1）x²+2kx+2=0的两个根，记S=x₁x₂-x₁-x₂，S的值能为1吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分二次项系数为0和非0两种情况考虑，当k-1=0时，原方程为一元一次方程，解方程可得出此时方程有实数根；当k-1≠0时，根据根的判别式△=b²-4ac，可得出△=4（k-1）²+4＞0，进而可得出方程有两个不相等的实数根，综上即可得出结论．
（2）假设能，根据根与系数的关系可得出${x_1}+{x_2}=\frac{-2k}{k-1}$、${x_1}{x_2}=\frac{2}{k-1}$，将S进行变形代入数据即可得出分式方程$\frac{2}{k-1}+\frac{2k}{k-1}=1$，解分式方程得出k值，经检验后即可得出结论．

解答 （1）证明：①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=2，
x=1有一个解；
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，
∵△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k+8=4（k-1）²+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
综合①②得：不论k为何值，方程总有实根．
（2）解：假设能，∵x₁，x₂是方程（k-1）x²+2kx+2=0的两个根，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-2k}{k-1}$，${x_1}{x_2}=\frac{2}{k-1}$，
∴S=x₁x₂-x₁-x₂=x₁x₂-（x₁+x₂）=1，即$\frac{2}{k-1}+\frac{2k}{k-1}=1$，
整理得：2+2k=k-1，解得：k=-3．
经检验：k=-3是分式方程$\frac{2}{k-1}+\frac{2k}{k-1}=1$的解．
∴S的值能为1，此时k的值为-3．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解分式方程，熟练掌握根与系数的关系以及根的判别式是解题的关键．