Question

2．已知抛物线y=x²-2x-3与一次函数y=x+7．
（1）做出这两个函数的大致图象；
（2）若抛物线与直线相交于A、B两点，求出A、B的坐标；
（3）点O为坐标原点，求出△ABO的面积；
（4）抛物线的顶点为P，求出△ABP的面积；
（5）根据图象写出抛物线的值大于直线的值的x的范围．

Answer 1

分析 （1）利用描点法画二次函数图象．
（2）联立方程，解方程即可求出A、B点的坐标；
（3）根据直线的解析式求出直线与y轴的交点为（0，7），再由三角形的面积公式求得两个三角形面积的和解答．
（4）由抛物线y=x²-2x-3=（x-1）²-4可知顶点P（1，-4），进而求得抛物线对称轴与直线y=x+7的交点为（1，8），再由三角形的面积公式求得两个三角形面积的和解答．
（5）根据图象即可求得．

解答 解：（1）画出函数的图象如图：


（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=x+7}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=5}\end{array}\right.$
∴A坐标（-2，5），B坐标（5，12）．
（3）由直线y=x+7可知与y轴的交点为（0，7），
∴△ABO的面积=$\frac{1}{2}$×7×2+$\frac{1}{2}$×7×5=$\frac{49}{2}$．
（4）由抛物线y=x²-2x-3=（x-1）²-4可知顶点P（1，-4），
把x=1代入y=x+7得y=8，
∴抛物线对称轴与直线y=x+7的交点为（1，8），
∴△ABP的面积=$\frac{1}{2}$×9×3+$\frac{1}{2}$×9×4=$\frac{63}{2}$；
（5）由图象可知：当x＜-2或x＞5时抛物线的值大于直线的值．

点评 此题考查了二次函数解析式的性质、直线与抛物线的交点以及二次函数的顶点坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是求得交点坐标．