Question

4．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，它的内切⊙O分别与边AB，BC，CA相切于点D，E，F，且BD=12，半径r=4，求AD的长．

Answer 1

分析 连接OF、OE．先证明四边形OECF是正方形，从而可求得BF=DB=3，设AD=AE=x，最后再Rt△ABC中，由勾股定理列方程求解可求得x=10，结论．

解答 解：如图所示：连接OF、OE．

∵BC是圆O的切线，
∴OF⊥BC．
同理：OE⊥AC．
∴∠OFC=∠C=∠OEC=90°．
∴四边形OECF是矩形．
∵OF=OE，
∴四边形OECF是正方形．
∴FC=EC=2．
∴BF=3．
由切线长定理可知：DB=BF=3，AD=AE．
设AD=AE=x，则AC=x+2，AB=x+3．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB²=AC²+BC²，（x+3）²=（x+2）²+5²．
解得：x=10．
∴AD=10．

点评 本题主要考查的是三角形的内切圆，正方形的性质和判定、切线长定理，证得四边形OECF是正方形是解题的关键．