先完成填空.再按要求答题:(1)计算:sin230°+cos230°= ,sin245°+cos245°= ,sin260°+cos260°= ,-观察上述等式.猜想:对任意锐角A.都有sin2A+cos2A= ．(2)如图.在锐角三角形ABC中.利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想,(3)已知0°＜∠A＜90°且sinA•cosA=1225.求sinA+cosA的值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

先完成填空，再按要求答题：
（1）计算：（只要求填写最后结果）sin²30°+cos²30°=

；sin²45°+cos²45°=

；sin²60°+cos²60°=

；…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin²A+cos²A=

．
（2）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
（3）已知0°＜∠A＜90°且sinA•cosA=

，求sinA+cosA的值．

考点：解直角三角形,勾股定理,特殊角的三角函数值

专题：

分析：（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；由前面的结论，即可猜想出：对任意锐角A，都有sin²A+cos²A=1；
（2）过点B作BH⊥AC于H，则∠AHB=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=

，cosA=

，则sin²A+cos²A=

BH2+AH2

AB2

，再根据勾股定理得到BH²+AH²=AB²，从而证明sin²A+cos²A=1；
（2）利用关系式sin²A+cos²A=1，结合已知条件0°＜∠A＜90°且sinA•cosA=

，进行求解．

解答：解：（1）sin²30°+cos²30°=1；
sin²45°+cos²45°=1；
sin²60°+cos²60°=1；…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin²A+cos²A=1．

（2）如下图，过点B作BH⊥BC于点H，BH²+AH²=AB²，
则sinA=

，
cosA=

，
所以sin²A+cos²A=

BH2

AB2

AH2

AB2

BH2+AH2

AB2

=1；

（3）∵sin²A+cos²A=1，sinA•cosA=

，
∴（sinA+cosA）²-2sinA•cosA=1
∴sinA+cosA=

，
故答案为：1；1；1；1．

点评：本题考查了解直角三角形，同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．

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