Question

【题目】如图①，四边形和四边形都是正方形，且，，正方形固定，将正方形绕点顺时针旋转角()．

（1）如图②，连接、，相交于点，请判断和是否相等？并说明理由；

（2）如图②，连接，在旋转过程中，当为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数；

（3）如图③，点为边的中点，连接、、，在正方形的旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）相等，理由见解析；（2）和；（3）存在，最大值为．

【解析】

（1）由四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形知BC＝CD，CF＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，从而得∠BCG＝∠DCE，证△BCG≌△DCE得BG＝DE；
（2）分两种情况求解可得；
（3）由，知当点P到BD的距离最远时，△BDP的面积最大，作PH⊥BD，连接CH、CP，则PH≤CH＋CP，当P、C、H三点共线时，PH最大，此时△BDP的面积最大，据此求解可得．

（1）证明：相等

∵四边形和四边形都是正方形，

∴，，，

∴，即，

∴；

∴BG=DE

（2）如图1，∠ACG=90°时，旋转角；

如图2，当∠ACG=90°时，旋转角；

综上所述，旋转角的度数为45°或225°；

（3）存在

∵如图3，在正方形中，，

∴，

∴当点到的距离最远时，的面积最大，

作，连接，，则

当三点共线时，最大，此时的面积最大．

∵，点为的中点，

∴

此时，，

∴．