【题目】如图,E,F分别是等边△ABC边AB,AC上的点,且AE=CF,CE,BF交于点P.
(1)证明:CE=BF;
(2)求∠BPC的度数.
【答案】(1)见解析;(2)∠BPC=120°.
【解析】
(1)欲证明CE=BF,只需证得△BCE≌△ABF;
(2)利用(1)中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF,则由图示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°,即∠PBC+∠PCB=60°,所以根据三角形内角和定理求得∠BPC=120°.
证明:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AB,∠A=∠EBC=60°,
∴在△BCE与△ABF中,
,
∴△BCE≌△ABF(SAS),
∴CE=BF;
(2)∵由(1)知△BCE≌△ABF,
∴∠BCE=∠ABF,
∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°,即∠PBC+∠PCB=60°,
∴∠BPC=180°﹣60°=120°.
即:∠BPC=120°.
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【题目】下面是小欣设计的“利用等腰三角形做菱形”的尺规作图过程.
己知:等腰
求作:点,使得四边形为菱形.
做法:①作的角平分线,交线段于点;
②以点为圆心,长为半径圆弧,交的延长线于点;
③连接,所以四边形为菱形,点即为所求.
根据小新设计的尺规作图过程.
(1)使用直尺和圆规补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:平分,
(______________________________________)(填推理的依据)
∴四边形为平行四边形(______________________________________)(填推理的依据)
,
∴四边形为菱形(______________________________________)(填推理的依据)
(3)请你设计一种不同于小欣的,利用等腰(其中)作菱形的方法.
要求:写出简要思路,并尺规作图.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.
(1)求函数y=kx+b和y=的表达式;
(2)已知点C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC,求此时点M的坐标.
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【题目】已知,在一个盒子旦有红球和白球共10个,它们除颜色外都相同,将它们充分摇匀后,从中随机抽出一个,记下颜色后放回.在摸球活动中得到如下数据:
摸球总次数 | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 350 | 400 | 450 | 500 |
摸到红球的频率 | 17 | 32 | 44 | 64 | 78 | a | 103 | 122 | 136 | 148 |
摸到红球的频率 | 0.34 | 0.32 | 0.293 | 0.32 | 0.312 | 0.32 | 0.294 | b | 0.302 | c |
(1)请将表格中的数据补齐a= ;b= ;c= ;
(2)根据上表,完成折线统计图;
当摸球次数很大时,摸到红球的频率将会接近 (精确到0.1)
(3)请你估计,当摸球次数很大时,摸到红球的频率将会接近 (精确到0.1)
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【题目】如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作发现
如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是_________;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是____________.
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,点D是其角平分线上一点,BD=CD=4,DE//AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使,请直接写出相应的BF的长.
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【题目】如图,一次函数y=﹣x+5的图象与反比例函数(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,n)和B两点.
(1)求反比例函数的解析式及点B坐标;
(2)在第一象限内,当一次函数y=-x+5的值大于反比例函数(k≠0)的值时,写出自变量x的取值范围.
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【题目】已知正比例函数y=k1x(k1≠0)与反比例函数的图象交于A、B两点,点A的坐标为(2,1).
(1)求正比例函数、反比例函数的表达式;
(2)求点B的坐标.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,BM是∠ABC的平分线,交CD于点M,且DM=2,平行四边形ABCD的周长是14,则BC的长等于( )
A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5
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