Question

【题目】成都地铁规划到2020年将通车13条线路，近几年正是成都地铁加紧建设和密集开通的几年，市场对建材的需求量有所提高，根据市场调查分析可预测：投资水泥生产销售后所获得的利润y1（万元）与投资资金量x（万元）满足正比例关系y1=20x；投资钢材生产销售的后所获得的利润y2（万元）与投资资金量x（万元）满足函数关系的图象如图所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点，AB∥x轴）．

（1）直接写出当0＜x＜30及x＞30时，y2与x之间的函数关系式；
（2）某建材经销公司计划投资100万元用于生产销售水泥和钢材两种材料，若设投资钢材部分的资金量为t（万元），生长销售完这两种材料后获得的总利润为W（万元）．
①求W与t之间的函数关系式；
②若要求投资钢材部分的资金量不得少于45万元，那么当投资钢材部分的资金量为多少万元时，获得的总利润最大？最大总利润是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：当0＜x≤30时，根据题意设y2=a（x﹣30）2+900，

将原点（0，0）代入，得：900a+900=0，解得：a=﹣1，

∴y2=﹣（x﹣30）2+900=﹣x2+60x，

当x＞30时，y2=900

（2）解：①设投资钢材部分的资金量为t万元，则投资生产水泥的资金量为（100﹣t）万元，

当0＜t≤30时，W=y1+y2=20（100﹣t）+（﹣t2+60t）=﹣t2+40t+2000，

当t＞30时，W=20（100﹣t）+900=﹣20t+2900；

②∵t≥45，

∴W=﹣20t+2900，W随t的增大而减小，

∴当t=45时，W最大值=2000万元

答：当投资钢材部分的资金量为45万元时，获得的总利润最大，最大总利润是2000万元．

【解析】（1）当0＜x≤30时，根据顶点A的坐标设其顶点式，将原点代入可得其解析式，当x＞30时，可得y2=900；（2）①设投资钢材部分的资金量为t万元，则投资生产水泥的资金量为（100﹣t）万元，分0＜t≤30、t＞30两种情况，根据W=y1+y2可得函数关系式；
②由t≥45可知W=﹣20t+2900，根据一次函数性质可得最值情况．