Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若

CE

DE

=

2

3

，求cos∠ABC的值．

Answer 1

考点：勾股定理,切线的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）如图，连接OC．欲证DE是⊙O的切线，只需证得OC⊥DE；
（2）由

CE

DE

=

2

3

，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE=

DE2-AD2

=2

2

k．则tan∠E=

AD

AE

=

2

4

．所以在Rt△OCE中，tan∠E=

OC

CE

=

OC

2k

．
在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD=

AO2+AD2

=

3

2

k，故cos∠ABC=cos∠AOD=

OA

OD

=

3

3

．

解答：（1）证明：如图，连接OC．
∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，
∴AD⊥AB，
∴∠DAB=90°．
∵OD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OC=OB，
∴∠2=∠4．
∴∠1=∠3．
在△COD和△AOD中，

OC=OA ∠1=∠3 OD=OD

，
∴△COD≌△AOD（SAS）
∴∠OCD=∠DAB=90°，即OC⊥DE于点C．
∵OC是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：由

CE

DE

=

2

3

，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，
∴AD=DC=k．
∴在Rt△DAE中，AE=

DE2-AD2

=2

2

k．
∴tan∠E=

AD

AE

=

2

4

．
∵在Rt△OCE中，tan∠E=

OC

CE

=

OC

2k

．
∴

2

4

=

OC

2k

，
∴OC=OA=

k

2

．
∴在Rt△AOD中，OD=

AO2+AD2

=

3

2

k，
∴cos∠ABC=cos∠AOD=

OA

OD

=

3

3

．

点评：本题考查了切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．