Question

【题目】将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，如图①所示，∠BAB′=θ， = = =n，我们将这种变换记为[θ，n]．

（1）如图①，对△ABC作变换[60°， ]得到△AB′C′，则S△AB'C：S△ABC=；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为度；

（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换[θ，n]得到△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB′C′为矩形，求θ和n的值；

（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ，n]得到△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．

Answer 1

【答案】
（1）3；60
（2）

解：如图②中，

∵四边形ABB′C′是矩形，

∴∠BAC′=90°．

∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°．

在Rt△ABB′中，∠ABB′=90°，∠BAB′=60°，

∴n= =2．

（3）

解：如图③中，

∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′，

又∵∠BAC=36°，

∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°

∴∠C′AB′=∠ABB′=∠BAC=36°，

∴θ=∠BAB′=72°，

又∵∠B=∠B，

∴△ABC∽△B′BA，

∴AB2=CBB′B=CB（BC+CB′），

∵CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，

∴AB2=1（1+AB）

∴AB= ，

∵AB＞0，

∴n= = ．

【解析】解：（1）如图①中，设直线BC与直线B′C′的交点为H，AB′交BH于O．

∵△ABC∽△AB′C′，
AB：AB′= ，
∴S△ABC：S△AB′C′=3，
∵∠B=∠B′，∠AOB=∠HOB′，
∴∠OHB=∠BAO=60°，
故答案为3，60°．
（1）根据变换[60°， ]的定义，即可解决问题．（2）想办法求出∠CAC′，以及 的值即可．（3）想办法求出∠BAB′，以及 的值即可