Question

如图所示，AD是⊙O的直径，AB、CD与⊙O相切于点A和点D．
（1）若BC也与⊙O相切，求证：OB⊥OC；
（2）若OB⊥OC，求证：BC也与⊙O相切；
（3）在（1）的条件下，若AD=12cm，设AB=x，CD=y，求y与x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）证明两个锐角的和等于90°即可；
（2）如图2，过O作OE垂直于CD，根据梯形的面积公式表示出梯形ABCD的面积，由O为AD的中点，将AD换为2OA，变形得到S_梯形ABCD=2（S_△OAB+S_△ODC），又S_梯形ABCD=S_△OAB+S_△OCD+S_△OBC，得到S_△OBC=S_△OAB+S_△OCD，而△OAB与△OCD都为直角三角形，分别利用三角形的面积公式表示后，根据AB+CD=BC，得到OA=OE，又OA为圆O的半径，故得到BC过半径OE的端点E，且与半径OE垂直，进而确定出BC为圆O的切线；
（3）如图1，过点B作BF⊥CD于F，构建矩形ABFD．设BC与圆O的切点是点E，连接OE．根据切线长定理得到AB=BE=x，CE=CD=y，则在直角△BFC中，利用勾股定理得到y与x的函数关系式．

解答：（1）证明：如图1，
∵AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切，
∴AB，BC，CD均与半圆O相切，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
又∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=180°．
∴∠2+∠4=90°，
∴∠BOC=180°-（∠2+∠4）=180°-90°=90°，
即OB⊥OC；

（2）证明：如图2，过点O作OE⊥CD于E．
∵S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）•AD=（AB+CD）•OA=2（

1

2

AB•OA+

1

2

CD•OD）=2（S_△OAB+S_△OCD），
且S_梯形ABCD=S_△OAB+S_△OCD+S_△OBC，
∴S_△OBC=S_△OAB+S_△OCD，且OA=OD，
∴

1

2

BE•OE+

1

2

CE•OE=

1

2

AB•OA+

1

2

CD•OA=

1

2

（AB+CD）•OA=

1

2

BC•OE，
又∵AB+CD=BC，
∴OA=OE，
∴E点在以AD为直径的⊙O上，又OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线，即BC与⊙O相切；

（3）解：如图1，过点B作BF⊥CD于F，设BC与圆O的切点是点E，连接OE．则四边形ABFD是矩形．
∵AB、CD、BC均与圆O相切，
∴AB=BE=x，CE=CD=y，
∴在直角△BFC中，BC²=FC²+BF²，即（x+y）²=（y-x）²+12²，
∴y=

38

x

，即y与x的函数关系式是y=

38

x

．

点评：此题考查了切线的性质与判定，勾股定理，以及梯形、三角形面积的计算，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．