Question

【题目】如图①，E是AB延长线上一点，分别以AB、BE为一边在直线AE同侧作正方形ABCD和正方形BEFG，连接AG、CE．

(1)试探究线段AG与CE的大小关系，并证明你的结论；

(2)若AG恰平分∠BAC，且BE=1，试求AB的长；

(3)将正方形BEFG绕点B逆时针旋转一个锐角后,如图②,问(1)中结论是否仍然成立，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）AG=CE.，理由见解析；（2）+1；;（3）AG=CE仍然成立，理由见解析；

【解析】

（1）根据正方形的性质可得AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，然后利用“边角边”证明△ABG和△CBE全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；

（2）利用角平分线的性质以及正方形的性质得出MC=MG，进而利用勾股定理得出GC的长，即可得出AB的长；

（3）先求出∠ABG=∠CBE，然后利用“边角边”证明△ABG和△CBE全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．

(1)AG=CE.

理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，

在△ABG和△CBE中，

∵ ，

∴△ABG≌△CBE(SAS)，

∴AG=CE；

(2)过点G作GM⊥AC于点M，

∵AG恰平分∠BAC，MG⊥AC，GB⊥AB，

∴BG=MG，

∵BE=1，

∴MG=BG=1，

∵AC平分∠DCB，

∴∠BCM=45°，

∴MC=MG=1，

∴GC= ，

∴AB的长为：AB=BC=+1；

(3)AG=CE仍然成立.

理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=CB，BG=BE，∠ABC=∠EBG=90°，

∵∠ABG=∠ABC∠CBG，

∠CBE=∠EBG∠CBG，

∴∠ABG=∠CBE，

在△ABG和△CBE中，

∵ ，

∴△ABG≌△CBE(SAS)，

∴AG=CE.