Question

△POA、△QAB都是等边三角形，点P、Q都在双曲线y=

k

x

（k＞0，x＞0）上，点A、B都在x轴上，OA=2．
（1）双曲线的解析式为

 

；
（2）求点B的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数图象上点的坐标特征,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得OD、PD的长，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰三角形的性质，可得AE、EQ的长，根据线段的和差，可得OE的长，根据点的坐标满足函数解析式，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值．

解答：解：（1）如图1：过P作PD⊥x轴于D，，

∵△OPA是等边三角形，
∴OD=

1

2

OA=1，PD=

3

，
∴P（1，

3

），
k=1×

3

=

3

，
双曲线解析式：y=

3

x

，
故答案为：y=

3

x

；
（2）如图2：过Q作QE⊥x轴于E，
设AB=m，∵△ABQ是等边三角形，
∴AE=

1

2

m，QE=

3 m

2

，
∴Q（

4+m

2

，

3 m

2

），
∵Q在双曲线上，
∴

4+m

2

•

3 m

2

=

3

，
化简，得m²+4m-4=0．
解得m=2

2

-2，m=-2

2

-2（不符合题意的要舍去），
B点的横坐标是2

2

-2+2=2

2

，
B点坐标是（2

2

，0）．

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用了等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式，函数图象上的点的坐标满足函数解析式．