Question

已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，∠CAB=30°．

（1）如图①，求∠DAC的大小；

（2）如图②，若⊙O的直径为8，求DE的长．

 

Answer 1

（1）∠DAC=30°；（2）DE=2

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接OC，

∵DC是圆的切线，

∴OC⊥DC，

∵AD⊥DC，

∴OC∥AD，

∴∠DAC=∠CAB=30°；

（Ⅱ）连接OE，OC，

∵∠EAO=∠DAC+∠CAB=60°，OE=OA，

∴△AOE是等边三角形，

∴AE=AO=AB=4，

∵AB=8，∠CAB=30°，

∴AC=8×cos30°=，

∴AD=AC•cos30°=6，

∴DE=AD﹣AE=6﹣4=2．

考点：1.切线的性质；2.等边三角形的判定与性质