Question

如图，BC为⊙O的直径，BC=4

2

，

AB

=

AC

，P为BC上一动点，M为AB的中点，设△PAM的周长为m，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,圆周角定理

专题：

分析：连接CM则m的最大值为P移动到B、C点时△ACM的周长，根据勾股定理即可求得CM的长，进而求得△ACM的周长；作AA′⊥BC，交⊙O于A′，连接A′B、A′C，则四边形ABA′C是正方形，作MM′⊥BC交A′B于M′，则M′与M关于BC对称，连接AM′交BC于P′，P′A+P′M=AM′，此时△PAM的周长为m最小；
根据勾股定理求得AM′的长，进而求得△AP′M的周长，即可求得m的取值范围．

解答：解：∵⊙O的直径BC=4

2

，
∴∠CAB=90°，
∵弧AB=弧AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴AC=AB=4，
∴AM=

1

2

AB=2，
连接CM，则CM=

AC2+AM2

=2

5

，
∴m的最大值为4+2+2

5

=6+2

5

，
作AA′⊥BC，交⊙O于A′，连接A′B、A′C，则四边形ABA′C是正方形，
作MM′⊥BC交A′B于M′，则M′与M关于BC对称，连接AM′交BC于P′，P′A+P′M=AM′，此时△PAM的周长为m最小；
∵A′B=AB=4，M为AB的中点，
∴BM′=BM=2，
∵AM′=

AB2+BM′2

=2

5

，
∴m的最小值为2+2

5

，
∴m的取值范围是2+2

5

≤m≤6+2

5

．
故答案为2+2

5

≤m≤6+2

5

．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题以及轴对称的性质，勾股定理的应用，正方形的判定及性质，解决本题的关键是确定AP+PM的最大值和最小值．