Question

已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，AB=6，

BE

OE

=

1

2

．
（1）当∠AEC=90°时，求CD的长；    
（2）当∠AEC=30°时，求CD的长．

Answer 1

考点：垂径定理

专题：

分析：（1）连接OC．根据AB=6，

BE

OE

=

1

2

，求得OE的长，根据勾股定理求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长．
（2）利用垂径定理和勾股定理和相交弦求解．

解答：解：（1）如图1，连接OC．
∵AB=6，
∴OC=OB=3，
∵

BE

OE

=

1

2

．
∴OE=2，
在直角三角形OEC中，根据勾股定理，得
CE=

5

．
∵AB⊥CD于E，
∴CD=2CE=2

5

．
（2）如图2，过O作OP⊥CD于E，
∵AB=6，

BE

OE

=

1

2

，
∴BE=1，OE=2，AE=5，
∵∠AEC=30°，
∴在Rt△POE中，OE=2，
∴PE=OPcos30°=2×

3

2

=

3

设CE=x，利用相交弦定理可得：1×5=（x-

3

）（x+

3

）
解得x=2

2

，
所以CD=4

2

．

点评：本题的关键是利用垂径定理和勾股定理和相交弦定理求线段的长．