Question

3．当a=4，b=27时，求下列各式的值．
（1）$\frac{{a}^{2}-2+{a}^{-2}}{{a}^{2}-{a}^{-2}}$+$\root{6}{（-b）^{4}}$；
（2）$\frac{{a}^{\frac{1}{2}}\sqrt{b}}{{b}^{-\frac{1}{2}}\root{3}{{a}^{-2}}}$÷（$\frac{{a}^{-1}\sqrt{{b}^{-1}}}{b\sqrt{a}}$）${\;}^{-\frac{2}{3}}$．

Answer 1

分析 题目应该先化简再求值，分式得先约分，结果需化简．

解答 解：（1）原式=$\frac{（a-{a}^{-1}）^{2}}{（a+{a}^{-1}）（a-{a}^{-1}）}$+$\root{6}{{b}^{4}}$=$\frac{a-{a}^{-1}}{a+{a}^{-1}}$+$\root{6}{{b}^{4}}$=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$+${b}^{\frac{2}{3}}$，
当a=4，b=27时，原式=$\frac{15}{17}$+[（3）³]${\;}^{\frac{2}{3}}$=$\frac{15}{17}+9=9\frac{15}{17}$；
（2）原式=$\frac{{a}^{\frac{1}{2}}×{b}^{\frac{1}{2}}}{{b}^{\frac{-1}{2}}×{a}^{\frac{-2}{3}}}$÷$\frac{{a}^{\frac{2}{3}}×{b}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{-\frac{2}{3}}×{a}^{\frac{-1}{3}}}$=${a}^{（\frac{1}{2}+\frac{2}{3}）}$${b}^{（\frac{1}{2}+\frac{1}{2}）}$÷${a}^{（\frac{2}{3}+\frac{1}{3}）}{b}^{（\frac{1}{3}+\frac{2}{3}）}$=${a}^{\frac{7}{6}}b÷ab={a}^{\frac{1}{6}}$=4${\;}^{\frac{1}{6}}$=$\root{3}{2}$．

点评 此题考查了约分、负整数指数幂、完全平方公式、平方差公式、幂的相关运算及实数的运算，熟记公式，正确的利用运算法则是解本题的关键．