Question

如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°
（1）请判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）请给出一个能反映PA、PB和PC的数量关系的一个等式，并说明你给出的等式成立；
（3）若PA、PB的长是方程x²-4x+m=0的两个相等的实数根，求⊙O的直径长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,根与系数的关系,垂径定理,圆周角定理

专题：

分析：（1）根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠ABC=∠APC，∠BAC=∠CPB，然后求出∠BAC=∠ABC=∠ACB，再根据三个角相等的三角形是等边三角形判定；
（2）在PC上截取PD=AP，得到△APD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠PAD=60°，AP=AD，再求出∠PAB=∠DAC，然后利用“边角边”证明△APB和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得PB=CD，然后根据PD+CD=PC等量代换即可得解；
（3）利用根与系数的关系求出方程的两个相等实数根，再根据等腰三角形和垂径定理判断出PC是⊙O的直径，然后利用（2）的结论求解即可．

解答：解：（1）△ABC是等边三角形．
理由如下：∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等边三角形．

（2）如图，在PC上截取PD=AP，
∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴∠PAD=60°，AP=AD，
∵∠PAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°，
∴∠PAB=∠DAC，
在△APB和△ADC中，

AB=AC ∠PAB=∠DAC AP=AD

，
∴△APB≌△ADC（SAS），
∴PB=CD，
∵PD+CD=PC，
∴PA+PB=PC；

（3）∵PA、PB的长是方程x²-4x+m=0的两个相等的实数根，
∴PA=PB=-

-4

2×1

=2，
∵∠APC=∠CPB=60°，
∴PC垂直平分AB，
∴PC是⊙O的直径，
∴⊙O的直径长=PA+PB=2+2=4．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，根与系数的关系，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形是解题的关键．