Question

将一张半径为4的圆形纸片（如图①）连续对折两次后展开得折痕AB、CD，且AB⊥CD，垂足为M（如图②），之后将纸片如图③翻折，使点B与点M重合，折痕EF与AB相交于点N，连接AE、AF（如图④），则△AEF的面积是

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：连接ME，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根据等边对等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM=30°，从而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠EAF=60°，从而判定△AEF是等边三角形，求出MN、EN，然后求出AN、EF，再根据三角形的面积公式求即可．

解答：解：连接ME，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴BN=MN，则ME=MB=2MN，
∴∠MEN=30°，
∴∠EMN=90°-30°=60°，
又∵AM=ME（都是半径），
∴∠AEM=∠EAM，
∴∠AEM=

1

2

∠EMN=

1

2

×60°=30°，
∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，
同理可求∠AFE=60°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
则MN=

1

2

BN=

1

2

×4=2，EN=

EM2-MN2

=2

3

，
∴EF=2EN=4

3

，AN=AM+MN=6，
∴△AEF的面积为：

1

2

×EF×AN=

1

2

×4

3

×6=12

3

．
故答案为：12

3

．

点评：本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，等边三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，仔细分析便不难求解．