Question

如图，⊙O的半径为3，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，若sin∠CBD=

1

3

，则AM等于（　　）

• A、1
• B、2
• C、

  2

• D、2

  2

Answer 1

分析：连接AO并延长，交圆O于点N，连接BN，则OM是△ABN的中位线，根据圆周角定理即可证明∠NAB=∠CBD，即可求得NB的长，根据三角形中位线定理即可求解．

解答：解：连接AO并延长，交圆O于点N，连接BN．
∵AN是直径，
∴∠ABN=90°，
∴∠ABN=∠CDB，
又∵∠C=∠N，
∴∠NAB=∠CBD，
∴sin∠NAB=sin∠CBD=

1

3

，
∵OM⊥AB，OA=3，
∴OM=AO×sin∠NAB=1，
由勾股定理得AM=2

2

．
故选D．

点评：本题主要考查了三角形中位线定理，正确作出辅助线，利用等弧所对的圆周角相等把sin∠CBD=

1

3

进行转化是解题的关键．