Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=7cm，BC=4cm，AB=4cm，现有动点P以3cm/s的速度从点A向点D运动，动点Q以2cm/s的速度从点C向点B运动，若P，Q两点同时出发，一个点停止运动时另一个点也停止运动，连接AQ、PQ，设运动时间为x s，请问x为何值时，△APQ为等腰三角形．

Answer 1

考点：梯形

专题：动点型

分析：利用当AQ=AP时，当AQ=QP时，当QP=AP时，利用勾股定理结合矩形的性质分别求出即可．

解答： 解：①如图1，

当x秒时，AQ=AP，则QC=2x，AP=3x，
故AQ=3x，则AB²+BQ²=AQ²，即4²+（4-2x）²=（3x）²，
解得：x₁=

-8+2 57

5

，x₂=

-8-2 57

5

（不合题意舍去）；
即

-8+2 57

5

秒时AQ=AP，△APQ为等腰三角形；

②如图2，

设当t秒时AQ=QP，过点Q作QE⊥AD于点E，
∵AQ=QP，QE⊥AP，
∴AE=EP，
∴BQ=AE，则QC=2t，BQ=AE=4-2t，AP=3t，
故

3t

2

=4-2t，
解得：t=

8

7

，
即

8

7

秒时，AQ=QP，△APQ为等腰三角形；

③如图3，

设当y秒时QP=AP，过点Q作QF⊥AD于点F，
则BQ=AF=4-2y，PF=3y-（4-2y）=5y-4，QP=AP=3y，
故PF²+QF²=QP²，
则（5y-4）²+4²=（3y）²，
整理得：4y²-5y+8=0，
b²-4ac=25-126=-101＜0，故此方程无实数根，
则QP≠AP．
综上所述：

-8+2 57

5

秒或

8

7

秒时，△APQ为等腰三角形．

点评：此题主要考查了梯形以及勾股定理和一元二次方程的解法，利用分类讨论得出是解题关键．