Question

2．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．

（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度数．

Answer 1

分析 （1）过点O作OE⊥AC于E，由垂径定理可知AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，根据翻折后点D与圆心O重合，可知OE=$\frac{1}{2}$r，在Rt△AOE中，根据勾股定理可得出r的值；
（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到$\widehat{ADC}$所对的圆周角，然后根据∠ACD等于$\widehat{ADC}$所对的圆周角减去$\widehat{CD}$所对的圆周角，计算即可得解．

解答 解：（1）如图1，过点O作OE⊥AC于E
则AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵翻折后点D与圆心O重合，
∴OE=$\frac{1}{2}$r，
在Rt△AOE中，AO²=AE²+OE²，
即r²=1²+（$\frac{1}{2}$r）²，解得r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（2）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°，
根据翻折的性质，$\widehat{AC}$所对的圆周角为∠B，$\widehat{ABC}$所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠DCA=∠CDB-∠A=65°-25°=40°．

点评 本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键．