Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中的两点A（m，0），B（2m，0）（m＞0），二次函数y=ax2+bx+m的图象与x轴交与A，B两点与y轴交于点C，顶点为点D．

（1）当m=1时，直线BC的解析式为 ， 二次函数y=ax2+bx+m的解析式为；
（2）求二次函数y=ax2+bx+m的解析式为（用含m的式子表示）；
（3）连接AC、AD、BD，请你探究 的值是否与m有关？若有关，求出它与m的关系；若无关，说明理由；
（4）当m为正整数时，依次得到点A1 ， A2 ， …，Am的横坐标分别为1，2，…m；点B1 ， B2 ， …，Bm 的横坐标分别为2，4，…2m（m≤10）；经过点A1 ， B1 ， 点A2 ， B2 ， …，点Am ， Bm的这组抛物线y=ax2+bx+m分别与y轴交于点C1 ， C2 ， …，Cm ， 由此得到了一组直线B1C1 ， B2C2 ， …，BmCm ， 在点B1 ， B2 ， …，Bm 中任取一点Bn ， 以线段OBn为边向上作正方形OBnEnFn ， 若点En在这组直线中的一条直线上，直接写出所有满足条件的点En的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣ x+1,y= x2﹣ x+1
（2）解：y= x2﹣ x+m
（3）解：结论： 的值与m无关．

理由：如图1中，连接AC、AD、BD，作DE⊥AB于E．

∵y= x2﹣ x+m= （x﹣ m）2﹣ ，

∴D（ m，﹣ ），

∴DE= ，

∵A（m，0），B（2m，0），

∴OA=m，OC=m，

∴S△AOC= m2，

∴ = =8，

∴ 的值与m无关

（4）解：如图2中，

观察图象可知，满足条件的点E的坐标分别为：E1（2，2），E2（4，4），E3（6，6）

【解析】解：（1）m=1时，A（1，0），B（2，0），C（0，1）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，则有 ，解得 ，

∴直线BC的解析式为y=﹣ x+1．

把A（1，0），B（2，0）代入y=ax2+bx+1，得到 ，解得 ，

∴二次函数的解析式为y= x2﹣ x+1．

所以答案是y=﹣ x+1，y= x2﹣ x+1．

⑵由已知二次函数y=ax2+bx+m的图象的图象经过A、B两点，得到

，

解得 ，

∴二次函数的解析式为y= x2﹣ x+m．

所以答案是y= x2﹣ x+m．

【考点精析】认真审题，首先需要了解确定一次函数的表达式(确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法)．