Question

【题目】如图，已知正方形的边长是，，将绕点顺时针旋转，它的两边分别交于点，是延长线上一点，且始终保持．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）当时：

①求的值；②若是的中点，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①45；②

【解析】

（1）在正方形ABCD中，AB=AD，=90°．已知BG=DF，所以得出△ABG≌△ADF，
（2）由△ABG≌△ADF，得出∠GAB=∠FAD，从而得到∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°，得出结论AG⊥AF；
（3）①由△ABG≌△ADF，AG=AF，BG=DF．得到EF=BE+DF，证出△AEG≌△AEF．所以∠EAG=∠EAF，∠EAF=∠GAF=45°，即m=45；
②若F是CD的中点，则DF=CF=BG=1．设BE=x，则CE=2-x,EF=EG=1+x．在Rt△CEF中，利用勾股定理得出BE的长为．

解：（1）证明：如图：

∵在正方形ABCD中，

∴AB=AD，=90°．

在中，

·

（2）证明：

（3）①解：△ABG≌△ADF，
∴AG=AF，BG=DF．
∵EF=BE+DF，
∴EF=BE+BG=EG．
∵AE=AE，
在△AEG和△AEF中．

∴△AEG≌△AEF（SSS）．
∴∠EAG=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF=45°，
即m=45；

②若F是CD的中点，则DF=CF=BG=1．
设BE=x，则CE=2-x，EF=EG=1+x．
在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，即（2-x）2+12=（1+x）2，得x=

∴BE的长为