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【题目】已知,点是线段所在平面内任意一点,分别以为边,在同侧作等边和等边,联结交于点

(1)如图1,当点在线段上移动时,线段的数量关系是:________;

(2)如图2,当点在直线外,且,仍分别以为边,在 同侧作等边和等边,联结交于点.(1)的结论是否还存在?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.此时是否随的大小发生变化?若变化,写出变化规律,若不变,请求出的度数;

(3)如图3,在(2)的条件下,联结,求证: 平分

【答案】(1) (2)成立,证明见解析, (3) 证明见解析.

【解析】试题分析:(1)直接写出答案即可.

2)证明ΔACD≌ΔECB,得到CEB=∠CAD,此为解题的关键性结论;借助内角和定理即可解决问题.

3过点C分别作CMADMCNEBNΔACD≌ΔECB得到CM=CN从而得到结论

试题解析:解:(1∵△ACECBD均为等边三角形,AC=ECCD=CBACE=∠BCD∴∠ACD=∠ECB

ACDECB中,AC=ECACD=∠ECBCD=CB∴△ACD≌△ECBSAS),AD=BE,故答案为:AD=BE

2AD=BE成立,APE不随着ACB的大小发生变化,始终是60°

证明如下:

∵ΔACE和ΔBCD是等边三角形,∴AC=ECCD=CBACE=∠BCD∴∠BCE=∠ACD

在ΔACD和ΔECB中,∵AC=ECBCE=∠ACDCD=CB∴ΔACD≌ΔECBAD=BE

∵ΔACD≌ΔECB∴∠CAD=∠CEB∵∠APB=∠PAE+∠PEA∴∠APB=∠CAE+∠CEA=120°∴∠APE=60°

3过点C分别作CMADMCNEBN∵ΔACD≌ΔECBCM=CNCP平分∠DPE

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问题提出:求边长分别为的三角形面积。

问题解决:在解答这个问题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出边长分别为的格点三角形ABC(如图①),AB=是直角边为12的直角三角形斜边,BC=是直角边分别为13的直角三角形的斜边,AC=是直角边分别为23 的直角三角形斜边,用一个大长方形的面积减去三个直角三角形的面积,这样不需求ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积。

(1)请直接写出图①中ABC的面积为_______________ 。

(2)类比迁移:求边长分别为的三角形面积(请利用图②的正方形网格画出相应的ABC,并求出它的面积)。

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(1)A⊕B=(x1+x2,y1+y2);

(2)A⊙B=x1x2+y1y2

(3)当x1=x2且y1=y2时,A=B.

有下列四个命题:

①若有A(1,2),B(2,﹣1),则A⊕B=(3,1),A⊙B=0;

②若有A⊕B=B⊕C,则A=C;

③若有A⊙B=B⊙C,则A=C;

④(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)对任意点A、B、C均成立.

其中正确的命题为______(只填序号)

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【题目】利用我们学过的知识可以导出下面这个形式优美的等式

a2b2c2abbcac [(ab)2(bc)2(ca)2]

该等式从左到右的变形不仅保持了结构的对称性还体现了数学的和谐、简洁美

(1)请你检验这个等式的正确性

(2)a2 016b2 017c2 018你能很快求出a2b2c2abbcac的值吗?

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