Question

【材料阅读】：我们知道，当一条直线与一个圆有0个、1个、两个公共点时，分别称这条直线与这个圆相离、相切、相交，类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形没有交点时，称这条直线与正方形相离；当一条直线与一个正方形只有一个公共点时，称这条直线与正方形相切，当一条直线与正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交．
【问题解决】：如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，D在x轴上，且A（2，0）、D（4，0）．
（1）判断直线y=-x+3与正方形ABCD的位置关系是

 

；
（2）若直线y=2x+a与正方形ABCD相切，则a的值=

 

；
（3）如图，直线l的解析式为y=-

3

x+b，设d是原点O到直线l的距离，当直线l与正方形DABC相交时，直接写出d取值范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由A（2，0）、D（4，0）可以求出AD=2，由正方形的性质可以得出AD=CD=BC=AB=2，可以得出C、B的坐标．当x=2或y=0时求出对应的y的值及x的值就可以求出直线与正方形的交点坐标而得出结论；
（2）由直线y=2x+a可得出直线是升函数．且子线与正方形相切，得出直线经过D点和B点，将B、D的坐标代入解析式就可以求出结论；
（3）由直线y=-

3

x+b与正方形DABC相交，直线是降函数就可以得出当直线过点A或点C时求出a的值，就可以求出直线与x轴和y轴的交点坐标，由勾股定理求出AE和FG的值，作ON⊥FG交AE于点M，求出OM，ON的值即可．

解答：解：（1）如图1，由题意，得
∵A（2，0）、D（4，0），
∴AD=2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB=2，
∴B（2，2），C（4，2）．
当x=2时，y=1，
当y=0时，x=3．
∴直线l与x轴交于（3，0），与y轴交于（2，1），
∴直线y=-x+3与正方形ABCD相交．
故答案为：相交；
（2）如图2，由题意，得
∵直线y=2x+a与正方形ABCD相切，
∴直线y=2x+a经过点B和点D．
当直线经过点B时，0=4×2+a，a=-8，
当直线经过点D时，2=2×2+a，a=-2．
故答案为：-2或-8；
（3）如图3，∵直线y=-

3

x+b，
∴直线是降函数，
当直线经过点A时，0=-2

3

+b，b=2

3

∴y=-

3

x+2

3

当x=0时，y=2

3

，
当y=0时，x=2．
∴OE=2

3

，OA=2，
∴AE=4，
当直线经过点C时，2=-4

3

+b，b=2+4

3

，
∴y=-

3

x+2+4

3

，
当x=0时，y=2+4

3

，
当y=0时，x=

2 3 +12

3

．
∴OF=2+4

3

，OG=

2 3 +12

3

，
∴FG=

4 3 +24

3

．
作ON⊥FG交AE于点M．
∴ON⊥AE．
∴

2×2 3

2

=

4OM

2

，

(2+4 3 )( 2 3 +12 3 )

2

=

4 3 +24 3 ON

2

∴OM=

3

，ON=1=2

3

．
∴

3

＜d＜1+2

3

．
∴d的取值范围是：

3

＜d＜1+2

3

．

点评：本题考查了直线与正方形的位置关系的运用，一次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，正方形的性质的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．