Question

3．如图1，已知点A、B的坐标分别为（0，a），（a，0），其中分式$\frac{3}{a-4}$无意义．
（1）求S_△AOB；
（2）如图2，点C的坐标为（-3，0），点P为y轴上一点，点D为线段AB的中点，当△PDC是以D为直角顶点的等腰直角三角形时，求P点坐标；
（3）如图3，已知点P（m，n）为线段AB上一点，且AP：BP=7：3，求$\frac{{m}^{2}{+n}^{2}}{2mn}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据分式无意义可知a-4=0，从而可求得a=4，故此可求得OA=OB=4，最后利用三角形的面积公式求解即可；
（2）先根据点D为AB的中点可求得点D的坐标，然后求得CD的解析式，根据相互垂直的两条直线的一次项系数的乘积为-1，从而可求得DP的解析式，故此可求得点P的坐标；
（3）过点P作PD⊥AO，垂足为D，PC⊥OB，垂足为C，由平行线分线段成比例定理可求得m=2.8，n=1.2，然后代入所求的代数式可求得代数式的值．

解答 解：（1）∵分式$\frac{3}{a-4}$无意义，
∴a-4=0．
解得：a=4．
∴点A、B的坐标分别为（0，4），（4，0）．
∴OA=OB=4．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}OA•OB$=$\frac{1}{2}×4×4$=8．

（2）∵点A、B的坐标分别为（0，4），（4，0），点D为线段AB的中点，
∴点D的坐标为（2，2）．
设CD的解析式为y=kx+b，
将点C和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{2}{5}$，b=$\frac{6}{5}$．
∴直线CD的解析式为y=$\frac{2}{5}x+\frac{6}{5}$．
∵△CDP为直角三角形，
∴直线PD的解析式的一次项系数为$-\frac{5}{2}$．
设直线DP的解析式为y=-$\frac{5}{2}x+c$，将点D的坐标代入得：$-\frac{5}{2}×2+c=2$，
解得：c=7．
∴直线DP的解析式为y=-$\frac{5}{2}x+7$．
将x=0代入得：y=7．
∴点P的坐标为（0，7）．

（3）如图所示：过点P作PD⊥AO，垂足为D，PC⊥OB，垂足为C．

∵DP⊥OA，BO⊥OA，
∴DP∥OB，
∴$\frac{DP}{OB}=\frac{AP}{AB}=\frac{7}{10}$，即$\frac{DP}{4}=\frac{7}{10}$．
解得；DP=2.8．
∴m=2.8．
∵PC⊥OB，OA⊥OB，
∴PC∥OA．
∴$\frac{PC}{AO}=\frac{PB}{AB}=\frac{3}{10}$，即$\frac{n}{4}=\frac{3}{10}$．
解得：n=1.2．
∴$\frac{{m}^{2}{+n}^{2}}{2mn}$=$\frac{2．{8}^{2}+1．{2}^{2}}{2×2.8×1.2}$=$\frac{29}{21}$．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题需要同学熟练掌握一次函数的图象和性质、平行线分线段成比例定理，明确相互垂直的两直线的一次项系数的乘积是-1解题的关键．