Question

如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜45°），得到正方形OA₁B₁C₁．设边B₁C₁与OC的延长线交于点M，边B₁A₁与OB交于点N，边B₁A₁与OA的延长线交于点E，连接MN．
（1）求证：△OC₁M≌△OA₁E；
（2）试说明：△OMN的边MN上的高为定值；
（3）△MNB₁的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．

Answer 1

（1）证明：∵正方形OABC，
∴∠A₁OE+∠A₁OM=∠C₁OM+∠A₁OM=90°，
∴∠A₁OE=∠C₁OM，
在△OC₁M和△OA₁E中，，
∴△OC₁M≌△OA₁E（ASA）；

（2）解：∵△OC₁M≌△OA₁E（已证），
∴OE=OM，
在△EON和△MON中，，
∴△EON≌△MON（SAS），
∴EN=MN，
∴△OMN的边MN上的高等于△OEN边EN上的高，即OA₁的长a，为定值；

（3）p不会发生变化，是定值2a．
理由如下：根据（1）（2），△OC₁M≌△OA₁E，△EON≌△MON，
∴MN=EN，A₁E=C₁M，
∴△MNB₁的周长p=MN+NB₁+MB₁，
=EN+NB₁+MB₁，
=EB₁+MB₁，
=A₁E+A₁B₁+MB₁，
=C₁M+A₁B₁+MB₁，
=A₁B₁+B₁C₁，
∵正方形OABC的边长为a，
∴A₁B₁=B₁C₁=a，
∴p=2a，是定值．
分析：（1）根据同角的余角相等可得∠A₁OE=∠C₁OM，然后利用“角边角”证明两三角形全等；
（2）根据（1）中全等三角形对应边相等可得OE=OM，再利用“边角边”证明△EON和△MON全等，根据全等三角形对应边上的高相等可得：△OMN的边MN上的高等于OA₁的长度，是定值；
（3）根据全等三角形对应边相等可得MN=EN，A₁E=C₁M，然后推出△MNB₁的周长p等于A₁B₁+B₁C₁，再根据旋转变换不改变图形的形状与大小，所以p=2a．
点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，是综合题，难度较大，把所求的值利用全等三角形转化为正方形的边长，从而得到定值是解题的关键．