Question

如图（1），在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，延长CB到E，使EB=AD，连结AE．
（1）求证：AE=AC；
（2）如图（2），若恰有AC平分∠BCD，AC⊥AB，AD=2，求：①AB的长；②AC的长；③梯形ABCD的面积．

Answer 1

解：（1）连接BD，
∵AD∥BC，EB=AD，
∴四边形ADBE为平行四边形，
∴AE=BD，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴AE=AC；

（2）①∵AD∥BC，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠DCA=∠DAC，
∴AB=CD=AD=2；

②∵梯形ABCD是等腰梯形，AC⊥AB，
∴∠ABC=∠BCD=2∠ACB，
∴∠ACB+∠ABC=3∠ACB=90°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB=2AD=4，
∴AC==2；

③过点A作AE⊥BC于点E，
∴AE==，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•AE=×（2+4）×=3．
分析：（1）连接BD，可证明四边形ADBE为平行四边形，则AE=BD，再根据等腰梯形的性质，可得出结论；
（2）①根据题意可得出∠ACB=∠DCA=∠DAC，则可得AB=CD=AD=2；
②由①易求得∠ACB=30°，从而得出BC=2AD，然后由勾股定理求得AC的长；
③首先求得高AD的长，继而求得梯形ABCD的面积．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．