Question

19．如图，在第1个△A₁BC中，∠B=30°，A₁B=CB；在边A₁B上任取一点D，延长CA₁到A₂，使A₁A₂=A₁D，得到第2个△A₁A₂D；在边A₂D上任取一点E，延长A₁A₂到A₃，使A₂A₃=A₂E，得到第3个△A₂A₃E，…按此做法继续下去，则第2017个三角形中以A₂₀₁₇为顶点的底角度数是（$\frac{1}{2}$） ²⁰¹⁶×75°．

Answer 1

分析 先根据等腰三角形的性质求出∠BA₁C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA₂A₁，∠EA₃A₂及∠FA₄A₃的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以A_n为顶点的底角度数．

解答 解：∵在△CBA₁中，∠B=30°，A₁B=CB，
∴∠BA₁C=$\frac{180°-∠B}{2}$=75°，
∵A₁A₂=A₁D，∠BA₁C是△A₁A₂D的外角，
∴∠DA₂A₁=∠BA₁C=$\frac{1}{2}$×75°；
同理可得∠EA₃A₂=（$\frac{1}{2}$）²×75°，∠FA₄A₃=（$\frac{1}{2}$）³×75°，
∴第n个三角形中以A_n为顶点的底角度数是（$\frac{1}{2}$） ^n-1×75°．
∴第2017个三角形中以A₂₀₁₇为顶点的底角度数是（$\frac{1}{2}$）2016×75°，
故答案为：（$\frac{1}{2}$） ²⁰¹⁶×75°．

点评 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA₂A₁，∠EA₃A₂及∠FA₄A₃的度数，找出规律是解答此题的关键．