Question

17．已知：二次函数y=x²-10x+21顶点为A，与x轴交点为B、C，求：以点A、B、C为顶点的三角形的外接圆圆心的坐标．

Answer 1

分析 由二次函数解析式求出顶点A的坐标，求出方程x²-10x+21=0的解，得出B、C的坐标，由△ABC的外接圆的圆心D在对称轴AE上，在Rt△BDE中，由勾股定理得出BD²=BE²+ED²，且BD=AD，求出BD，得出DE即可．

解答 解：∵二次函数y=x²-10x+21=（x-5）²-4，
∴顶点A的坐标为（5，-4），
当y=0时，
x²-10x+21=0，
解得：x₁=3，x₂=7，
∴B（3，0），C（7，0），
∴OB=4，BC=4，
作抛物线的对称轴交x轴于E，△ABC的外接圆圆心为D，如图所示：
则BE=2，AE=4，OE=5，∠DEB=90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BD²=BE²+ED²，且BD=AD，
BD²=2²+（4-BD）²，
解得：BD=$\frac{5}{2}$，
∴DE=$\frac{3}{2}$，
∴△OAB外接圆圆心的坐标是（5，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查了勾股定理、一元二次方程的解法、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，由勾股定理得出DE是解题的关键．