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【题目】如图,直线ABx轴正半轴于点Aa,0),交y轴正半轴于点B(0,b),且ab满足

(1)求AB两点的坐标;

(2)COA的中点,作点C关于y轴的对称点D,以BD为直角边在第二象限作等腰RtBDE,过点EEFx轴于点F.若直线y=kx-4k将四边形OBEF分为面积相等的两部分,求k的值;

(3)如图,Px轴上A点右侧任意一点,以BP为边作等腰RtPBM,其中PB=PM,直线MAy轴于点Q,当点Px轴上运动时,线段OQ的长是否发生变化?若不变,求其值;若变化,求线段OQ的取值范围.

【答案】(1)A(4,0),B(0,4);(2)k值为或-;(3)见解析

【解析】(1)首先根据已知条件和非负数的性质得到关于a、b的方程,解方程组即可求出a,b的值,也就能写出A,B的坐标;

(2)先判段出△DEF≌△BDO,得出EF、OF,即可求出四边形OBEF的面积为18,再分析两种情况可讨论计算即可.

(3)过M作x轴的垂线,通过证明△PBO≌△MPN得出MN=AN,转化到等腰直角三角形中即可得出结论.

解:(1)∵

∴a=4,b=4,

∴A(4,0),B(0,4);

(2)由(1)知,B(0,4);

∴OB=4,

∵C为OA的中点,

∴C(2,0),

∵点C关于y轴的对称点D,

∴D(-2,0)

∴OD=2,

∵BD为直角边在第二象限作等腰Rt△BDE,

①如图,

当BD=BE,∠DBE=90°时,过点E作EH⊥OB于H,

∴∠BHE=90°,

∴∠BEH+∠HBE=90°,

∵∠DBE=90°,

∴∠HBE+∠OBD=90°,

∴∠BEH=∠OBD,

在△OBD和△HEB中,∠BOD=∠EHB=90°,∠0BD=∠BEH,BD=BE,

∴△OBD≌△HEB,

∴BH=OD,EH=OB,

∵D(-2,0),B(0,4),

∴OB=4,OD=2,

∴BH=2,EH=4,

∴OH=OB+BH=6,∴E(-4,6),

∴EF=OH=6,OEH=4,

∴S四边形OBEF=(OB+EF)×OF=20,

∵直线y=kx-4k将四边形OBEF分为面积相等的两部分,

∴S四边形OBGF=S四边形OBEF=10,

∴S四边形OBFE= (FG+OB×OF=×(FG+4)×4=2(FG+4)=10,

∴FG=1,∴G(-4,1)

将G(-4,1)代入直线y=kx-4k,得,1=-4k-4k,

∴k=.

②如图1,

当DE=BD,∠BDE=90°时,

∴∠EDF+∠BDO=90°,

∴∠DEF=∠BDO,

在△DEF和△BDO中,∠DEF= ∠BOD=90°,∠DEF=∠BDO,DBD,

∴△DEF≌△BDO,

∴EF=OD=2,DF=OB=4,

∴OF=6,

∴F(-6,2)

∴S四边形OBEF=(EF+OB)×OF=×(2-4)×6=18,

∵直线y=kx-4k将四边形OBEF分为面积相等的两部分,

所以直线y=kx-4k分成的两部分的面积为9,

∵直线y=kx-4k恒过A(4,0),

∴I、当直线y=kx-4k和线段EF相交,

∴S四边形OHGF=9,

∵H(0,-4k),

∴OH=-4k,

∵G点的横坐标为-6,

∴G(-6,-10k),

∴FG=-10k,

∴S四边形OHGF=(-4k=10k)×6=9.

∴k=-

II、当直线y=kx-4k①和线段EB相交,

∴S△MBN=9,

∵N(0,-4k)

∴BN=4(k+1),

∵B(0,4),E(-6,2),

∴直线BE的解析式为y=x+4②

联立①②得,点M的横坐标为

∴S△MBN=×4(k+1)×=9,

∴k=(舍)或k=.

即:满足条件的k值为或-.

(3)过M作MN⊥x轴,垂足为N.

∵∠BPM=90°,∴∠BPO+MPN=90°.

∵∠AOB=∠MNP=90°,∴∠BPO=∠PMN,∠PBO=∠MPN.

∵BP=MP,∴△PBO≌△MPN,

∴ MN=OP,PN=AO=BO,

∴OP=OA+AP=PN+AP=AN,

∴MN=AN,∠MAN=45°.

∵∠BAO=45°,

∴△BAQ是等腰直角三角形.

∴OB=OQ=4.

∴无论P点怎么动,OQ的长不变.

“点睛”此题是一次函数综合题,主要考查了非负性,全等三角形的判定和性质,梯形的面积公式,三角形面积公式,等腰直角三角形的判定和性质,解题关键是求出k的值.

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