Question

如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，⊙O₁的直径是OC，AD切⊙O₁于D，交OC的延长线于E，设⊙O₁的半径为r=3，则DE=________．

Answer 1

4
分析：先连接O₁D，设DE=x，由于OC⊥AB，AE是切线，可知∠AOE=∠O₁DE=90°，结合∠E=∠E，易证△AOE∽△O₁DE，利用勾股定理可求O₁E，进而可求OE，利用相似三角形得出的比例线段，可得x：3=（+3）：6，求解即可．
解答：解：如右图所示，连接O₁D，设DE=x，
∵OC⊥AB，AE是切线，
∴∠AOE=∠O₁DE=90°，
∵∠E=∠E，
∴△AOE∽△O₁DE，
∴DE：O₁D=OE：AO，
∴x：3=（+3）：6，
解得x₁=0（不合题意，舍去），x₂=4．
故答案是4．
点评：本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解方程．解题的关键是证明△AOE∽△O₁DE．