Question

如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）过点D作DR⊥CE于R，求证：DF=2FR．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据△ABC是等边三角形，得到∠BAC=∠B=60°，AB=AC，再根据AE=BD可以利用SAS证得△AEC≌△BDA，从而证得AD=CE．
（2）根据△AEC≌△BDA得到∠ACE=∠BAD，然后求得∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=60°，通过解该直角三角形证得结论．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC
又∵AE=BD
在△AEC与△BDA中，

AB=AC ∠BAC=∠B AE=BD

，
∴△AEC≌△BDA（SAS），
∴AD=CE；
                                                        
（2）证明：由（1）△AEC≌△BDA，得∠ACE=∠BAD，
∴∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=60°，
∴cos60°=

FR

DF

=

1

2

，即DF=2FR．

点评：本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题是关键是发现等边三角形中隐含的条件．