Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O分别交AB，BC于点M，N，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：∠BAC=2∠BCP；
（2）若BC=2$\sqrt{5}$，sin∠BCP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求点B到AC的距离．

Answer 1

分析 （1）连接AN，由圆周角定理可得AN⊥BC，再由等腰三角形的性质可得AN平分∠BAC，所以再证明∠NAC=∠BCP即可；
（2）易求AC，AN的长，再根据△ABC的面积为定值即可得到点B到AC的距离．

解答 （1）证明：连接AN，
∵AC为直径，
∴AN⊥BC，
∵AB=AC，
∴AN平分∠BAC，
∵PC是圆的切线，
∴∠ACP=90°，
∵∠NAC+∠ACB=∠PCB+∠ACB=90°，
∴∠NAC=∠BCP，
即∠BAC=2∠BCP；
（2）∵BC=2$\sqrt{5}$，BN=CN，
∴CN=$\sqrt{5}$，
∵sin∠BCP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠ACN=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AC=5，
∴AN=$\sqrt{A{C}^{2}-C{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴点B到AC的距离=$\frac{AN•BC}{AC}$=$\frac{2\sqrt{5}×2\sqrt{5}}{5}$=4．

点评 本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．