Question

已知反比例函数y=

k

2x

和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象过（a，b）、（a+1，b+k）两点．如图，已知两个函数图象在第一象限内的交点为A点，在x轴上存在点P，使△AOP为等腰三角形，则P坐标是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式，因为A点同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可得到A点坐标，然后求出OA的距离，再根据：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论解决．

解答：解：将（a，b）、（a+1，b+k）分别代入一次函数y=2x-1解析式得

2a-1=b 2(a+1)-1=b+k

，
解得k=2，
∴反比例函数解析式为y=

1

x

；

将y=

1

x

和一次函数y=2x-1组成方程组得

y= 1 x y=2x-1

，
解得

x1=1 y1=1

，

x2=- 1 2 y2=-2

，
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为（1，1）．
∴OA=

12+12

=2，OA与x轴所夹锐角为45°，
①当OA为腰时，由OA=OP₁得P₁（

2

，0），
由OA=OP₂得P₂（-

2

，0）；
由OA=AP₃得P₃（2，0）．
②当OA为底时，OP₄=AP₄得P₄（1，0）．
∴符合条件的点有4个，分别是（

2

，0），（-

2

，0），（2，0），（1，0）．
故答案为（

2

，0），（-

2

，0），（2，0），（1，0）．

点评：本题考查了反比例函数的相关问题，在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．同时在两个函数解析式上，应是这两个函数解析式的公共解．答案较多时，应有规律的去找不同的解．